Циліндр. Види, обсяг циліндра, площа поверхні

Назва науки «геометрія» перекладається як "вимірювання землі". Зародилася стараннями самих перших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок землеробів, а нові кордони могли не збігатися зі старими. Податки ж селянами сплачувалися у скарбницю фараона пропорційно величині земельного наділу. Виміром площ ріллі в нових кордонах після розливу займалися спеціальні люди. Саме в результаті їх діяльності і виникла нова наука, яка отримала розвиток у Стародавній Греції. Там вона і отримала назву, і набула майже сучасного вигляду. Надалі термін став інтернаціональним назвою науки про плоских і об'ємних фігур.




Планіметрія – це розділ геометрії, що займається вивченням плоских фігур. Іншим розділом науки є стереометрія, яка розглядає властивості просторових (об'ємних) фігур. До таких постатей належить і описується в цій статті – циліндр. Прикладів присутності предметів циліндричної форми в повсякденному житті предостатньо. Циліндричну (набагато рідше – конічну форму мають майже всі деталі обертання - вали, втулки, шийки, осі і т. д. Циліндр широко використовується і в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. А крім того посуд, деякі види упаковки, труби різних діаметрів. І нарешті знамениті капелюхи, надовго стали символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Циліндром (круговим циліндром) прийнято називати фігуру, що складається з двох кругів, які при бажанні поєднуються з допомогою паралельного перенесення. Саме ці кола і є підставами циліндра. А ось лінії (прямі відрізки), що сполучають відповідні точки, отримали назву «утворюють». Важливо, що підстави циліндра завжди дорівнюють (якщо ця умова не виконується, то перед нами – усічений конус, що-небудь інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. Відрізки ж, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні. Сукупність нескінченного безлічі утворюють - не що інше, як бічна поверхня циліндра – один з елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова – розглянуті вище кола. Називаються вони підставами.

Види циліндрів

Найпростіший і найпоширеніший вид циліндра – кругової. Його утворюють дві правильні кола, які виступають у ролі підстав. Але замість них можуть бути й інші фігури. Підстави циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати не обов'язково замкнуту форму. Наприклад підставою циліндра може слугувати парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим або розгорнутим. По куту нахилу твірних до підстав циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндра утворюють строго перпендикулярні площини підстави. Якщо цей кут відрізняється від 90°, циліндр – похилий.

Що таке поверхню обертання

Прямий круговий циліндр, без сумніву – найпоширеніша поверхню обертання, що використовується в техніці. Іноді за технічними показниками застосовується конічна, куляста, деякі інші типи поверхонь, але 99% всіх обертових валів, осей і т. д. виконані саме у формі циліндрів. Для того щоб краще усвідомити, що таке поверхню обертання, можна розглянути, як же утворений сам циліндр. Припустимо, є якась пряма a , розташована вертикально. ABCD – прямокутник, одна із сторін якого (відрізок АВ) лежить на прямій a . Якщо обертати прямокутник навколо прямої, як це показано на малюнку, обсяг, який він займе, обертаючись, і буде нашим тілом обертання – прямим круговим циліндром з висотою H = AB = DC і радіусом R = AD = BC. В даному випадку, в результаті обертання фігури - прямокутника - виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо – куля і т. д.

Площа поверхні циліндра

Для того щоб обчислити площу поверхні звичайного прямого кругового циліндра, необхідно підрахувати площі основ і бічної поверхні. Спочатку розглянемо, як обчислюють площу бічної поверхні. Це твір довжини кола на висоту циліндра. Довжина кола, в свою чергу, дорівнює подвоєному добутку числа універсального П на радіус кола. Площа кола, як відомо, дорівнює добутку П на квадрат радіуса. Отже, склавши формули для визначення площі бічної поверхні з подвоєним виразом площі основи (їх два) і провівши нескладні алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточне вираз для визначення площі поверхні циліндра.

Визначення обсягу фігури

Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту. Таким чином, кінцева формула виглядає наступним чином: шукане визначається як добуток висоти тіла на універсальне число П і на квадрат радіусу основи. Отримана формула, треба сказати, що застосовується для вирішення найнесподіваніших завдань. Точно так само, як об'єм циліндра, визначається, наприклад, обсяг електропроводки. Це буває необхідно для обчислення маси проводів. Відмінності у формулі лише в тому, що замість одного радіуса циліндра варто поділений надвоє діаметр жили проводки і у вираженні з'являється число жив у проводі N . Також замість висоти використовується довжина проводу. Таким чином розраховується обсяг «циліндра» не одного, а за кількістю дротів в оплітці. Такі розрахунки часто потрібні на практиці. Адже значна частина ємностей для води виготовлена у формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто буває потрібно навіть у домашньому господарстві. Однак, як вже говорилося, форма циліндра може бути різною. І в деяких випадках потрібно розрахувати, чому дорівнює об'єм циліндра похилого. Відмінність в тому, що площу поверхні основи множать не на довжину твірної, як у випадку з прямим циліндром, а відстань між площинами – перпендикулярний відрізок, побудований між ними. Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворюючої на синус кута нахилу твірної до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

В деяких випадках потрібно викроїти розгортку циліндра. На рисунку показані правила, за якими будується заготовка для виготовлення циліндра з заданими висотою і діаметром. Слід враховувати, що малюнок наведено без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Уявімо собі якийсь прямий циліндр, обмежений з одного боку площиною, перпендикулярною утворюючим. А ось площину, що обмежує циліндр з іншого боку, не перпендикулярна утворюючим і не паралельна першої площини. На малюнку представлений скошений циліндр. Площина а під деяким кутом, відмінним від 90° до утворюючим, перетинає фігуру. Така геометрична форма частіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліна). Але бувають навіть будівлі, побудовані у вигляді скошених циліндра.

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Нахил одній з площин скошеного циліндра злегка змінює порядок розрахунку площі поверхні такої фігури, так і її обсягу.