Як дізнатися площу багатокутника?

В задачах геометрії часто потрібно обчислити площу багатокутника. Причому він може мати досить різноманітну форму – від всім знайомого трикутника до деякого n-кутника з якимось неймовірним числом вершин. До того ж ці багатокутники бувають опуклими або увігнутими. У кожній конкретній ситуації покладається відштовхуватися від зовнішнього вигляду фігури. Так вийде вибрати оптимальний шлях вирішення завдання. Фігура може виявитися правильною, що істотно спростить розв'язування задачі.

Трохи теорії про багатокутниках

Якщо провести три або більше пересічних прямих, то вони утворюють деяку фігуру. Саме вона є гратки. За кількістю точок перетину стає ясно, скільки вершин у нього буде. Вони дають назву вийшла фігури. Це може бути:

трикутник;

чотирикутник;

п'яти - або шестикутник і так далі.

Така фігура неодмінно буде характеризуватися двома положеннями:

Суміжні сторони не належать одній прямій.

У несуміжних відсутні спільні точки, тобто вони не перетинаються.

Щоб зрозуміти, які вершини є сусідніми, потрібно подивитися, чи належать вони одній стороні. Якщо так, то сусідні. В інакше їх можна буде з'єднати відрізком, який необхідно назвати діагоналлю. Їх можна провести тільки в багатокутниках, у яких більше трьох вершин.

Які їх види існують?

Багатокутник, у якого більше чотирьох кутів, може бути опуклим або увігнутим. Відмінність останнього в тому, що деякі його вершини можуть лежати по різні сторони від прямої, проведеної через довільну сторону багатокутника. В опуклому завжди всі вершини лежать з одного боку від такої прямої. У шкільному курсі геометрії велика частина часу приділяється саме помітних фігур. Тому в задачах потрібно дізнатися площа опуклого многокутника. Тоді існує формула через радіус описаної окружності, яка дозволяє знайти шукану величину для будь-якої фігури. В інших випадках однозначного вирішення не існує. Для трикутника формула одна, а для квадрата або трапеції зовсім інші. У ситуаціях, коли фігура неправильна або вершин дуже багато, прийнято розділяти їх на прості та знайомі.

Як вчинити, якщо фігура має три або чотири вершини?

У першому випадку він виявиться трикутником, можна скористатися однією з формул:

S = 1/2 * а * н, де а — сторона, н — висота до неї;

S = 1/2 * а * в * sin (А), де а, в — сторінs трикутника, А — кут між відомими сторонами;

S = ?(p * (p - a) * (p -) * (p - c)), де з — сторона трикутника, до вже позначених двом, р — півпериметр, тобто сума всіх трьох сторін, поділена на два.

Фігура з чотирма вершинами може виявитися паралелограмом:

S = а * н;

S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(?), де d 1 і d 2 — діагоналі, ? — кут між ними;

S = a * в * sin(?).

Формула для площі трапеції: S = п * (a + в) /2 де а і в — довжини підстав.

Як вчинити з правильним гратки, у якого більше чотирьох вершин?

Для початку така фігура характеризується тим, що в ній всі сторони рівні. Плюс до цього, у багатокутника однакові кути. Якщо навколо такої фігури описати окружність, то її радіус співпаде з відрізком від центру багатокутника до однієї з вершин. Тому для того щоб обчислити площу правильного багатокутника з довільним числом вершин, буде потрібно така формула: S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360?/n), де n — кількість вершин багатокутника. З неї легко отримати таку, яка стане в нагоді для приватних випадків:

трикутника: S = (3?3)/4 * R 2 ;

квадрата: S = 2 * R 2 ;

шестикутника: S = (3?3)/2 * R 2 .

Ситуація з неправильною фігурою

Виходом для того, як дізнатися площа многокутника, якщо він не є правильним і його не можна віднести ні до одного з відомих раніше фігур, є алгоритм:

розбити його на прості фігури, наприклад, трикутники, щоб вони не перетиналися;

обчислити їх площі за будь-якою формулою;

скласти всі результати.

Що робити, якщо в задачі дано координати вершин многокутника?

Тобто відомий набір пар чисел для кожної точки, які обмежують сторони фігури. Зазвичай вони записуються як (x 1 ; y 1 ) для першої, (x 2 ; y 2 ) — для другої, а n-а вершина має такі значення (x n ; y n ). Тоді площа багатокутника визначається, як сума n доданків. Кожне з них виглядає так: ((y i+1 +y i )/2) * (x i+1 - x i ). У цьому виразі i змінюється від одиниці до n. Варто зазначити, що знак результату буде залежати від обходу фігури. При використанні зазначеної формули і рух за годинниковою стрілкою відповідь буде виходити негативним.

Приклад завдання

Умова. Координати вершин задані такими значеннями (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5). Потрібно обчислити площу багатокутника. Рішення. За формулою, зазначеною вище, перший доданок буде дорівнює (1.8 + 0.6)/2 * (3.6 - 2.1). Тут потрібно просто взяти значення для игрека і ікса від другої і першої точок. Нескладний розрахунок призведе до результату 1.8. Другий доданок аналогічно виходить: (2.2 + 1.8)/2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. При вирішенні подібних завдань не варто лякатися негативних величин. Все йде так, як треба. Це планомірно. Подібним чином виходять значення для третього (029), четвертого (-6365) і п'ятого доданків (296). Тоді підсумкова площа дорівнює: 1.8 + (-2.6) + 029 + (-6365) + 296 = - 3915.

Рада з рішенням задачі, для якої багатокутник зображений на папері в клітку

Найчастіше спантеличує те, що в даних є тільки розмір клітинки. Але виявляється, що більше відомостей не потрібно. Рекомендацією до вирішення такої задачі є розбивання фігури на безліч трикутників, прямокутників. Їх площі досить просто порахувати по довжинам сторін, які потім легко скласти. Але часто є більш простий підхід. Він полягає в тому, щоб домалювати фігуру до прямокутника і обчислити значення його площі. Потім порахувати площі тих елементів, які виявилися зайвими. Відняти їх з загального значення. Цей варіант деколи передбачає декілька меншу кількість дій.