Як обчислити площу трикутника

Трикутник — добре знайома всім фігура. І це, незважаючи на багате розмаїття його форм. Прямокутний, рівносторонній, гострокутний, рівнобедрений, тупокутний. Кожен з них чимось відрізняється. Але для будь-якого потрібно дізнаватися площа трикутника.

Загальні для всіх трикутників формули, в яких використовуються довжини сторін або висот

Позначення, прийняті в них: сторони — а, в, с; висоти на відповідні сторони н а , н у , н з . 1. Площа трикутника обчислюється як твір 1/2 , сторони і висоти, опущеної на неї. S = 1/2 * а * н а . Аналогічно слід записати формули для двох інших сторін. 2. Формула Герона, в якій фігурує півпериметр (його прийнято називати малою літерою р, у відмінності від повного периметра). Півпериметр необхідно порахувати так: скласти всі сторони і розділити їх на 2. Формула полупериметра: р = (а+в+с) /2. Тоді рівність для площі фігури виглядає так: S = ? (р * (р - а) * (р - в) * (р - с)).

3. Якщо не хочеться використовувати півпериметр, то стане в нагоді така формула, в якій присутні тільки довжини сторін: S = 1/4 * ? ((а + в + с) * (в + с - а) * (а + с) * (а + в - с)). Вона трохи довше попередньої, але виручить, якщо забулося, як знаходити півпериметр.

Загальні формули, в яких фігурують кути трикутника

Позначення, які потрібні для прочитання формул: ?, ?, ? — кути. Вони лежать навпроти сторін а, в, с, відповідно. 1. По ній половина добутку двох сторін і синуса кута між ними дорівнює площі трикутника. Тобто: S = 1/2 а * в * sin ?. Подібним чином слід записати формули для двох інших випадків.

2. Площа трикутника можна обчислити по одній стороні і трьом відомим кутам. S = (а 2 * sin ? * sin ?) /(2 sin ?). 3. Існує формула ще з однією відомою стороною і двома прилеглими до неї кутами. Вона виглядає таким чином: S = з 2 /(2 (ctg ? + ctg ?)). Дві останні формули є не найпростішими. Запам'ятати їх досить складно.

Загальні формули для ситуації, коли відомі радіуси вписаних або описаних кіл

Додаткові позначення: r, R — радіуси. Перший використовується для радіуса вписаного кола. Другий — для описаної. 1. Перша формула, за якою обчислюється площа трикутника, пов'язана з полупериметром. S = p * r. По-іншому її можна записати так: S = 1/2 r * (а + в + с). 2. У другому випадку потрібно перемножити всі сторони трикутника і розділити їх на учетверенний радіус описаного кола. У буквеному вираженні це виглядає так: S = (а * в * с) /(4R). 3. Третя ситуація дозволяє обійтися без знання сторін, але потрібні значення всіх трьох кутів. S = 2 R 2 * sin ? * sin ? * sin ?.

Окремий випадок: прямокутний трикутник

Це найпростіша ситуація, оскільки потрібно знання тільки довжини обох катетів. Вони позначаються латинськими літерами а і в. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині площі добудованого до нього прямокутника.
Математично це виглядає так: S = 1/2 а * ст. Вона запам'ятовується простіше всього. Бо виглядає, як формула площі прямокутника, тільки з'являється ще дріб, що позначає половину.

Окремий випадок: рівнобедрений трикутник

Оскільки у нього дві сторони рівні, то деякі формули для його площі виглядають дещо спрощеними. Наприклад, формула Герона, за якою обчислюється площа рівнобедреного трикутника, приймає наступний вигляд: S = 1/2 в ?((a + 1/2 )*(a - 1/2 в)). Якщо її перетворити, то вона стане коротшим. У такому разі формула Герона для рівнобедреного трикутника записується так: S = 1/4 в ?(4 * a 2 - b 2 ). Дещо простіше, ніж для довільного трикутника, виглядає формула площі, якщо відомі бокові сторони та кут між ними. S = 1/2 a 2 * sin ?.

Окремий випадок: рівносторонній трикутник

Зазвичай в задачах про нього відома сторона або її можна як-небудь дізнатися. Тоді формула, за якою знаходиться площу такого трикутника, виглядає наступним чином: S = (а 2 ?3) /4.

Задачі на знаходження площі, якщо трикутник зображений на картатій папері

Найпростішою є ситуація, коли прямокутний трикутник накреслено так, що його катети збігаються з лініями папери. Тоді потрібно просто порахувати число клітинок, укладаються в катети. Потім перемножити їх і розділити на два. Коли трикутник гострокутний або тупокутний, його потрібно домалювати до прямокутника. Тоді у цієї фігури буде 3 трикутника. Один — той що дано в завданні. А два інших — допоміжні і прямокутні. Визначити площі двох останніх потрібно за описаним вище способом. Потім порахувати площу прямокутника і відняти з нього ті, що обчислені для допоміжних. Площа трикутника визначена. Набагато складнішою виявляється ситуація, в якій ні одна із сторін трикутника не збігається з лініями папери. Тоді його потрібно вписати прямокутник так, щоб вершини вихідної фігури лежали на його сторонах. У цьому випадку допоміжних прямокутних трикутників буде три.

Приклад завдання на формулу Герона

Умова. У деякого трикутника відомі сторони. Вони дорівнюють 3 5 і 6 див. Необхідно дізнатися його площу. Рішення. Першим справою покладається порахувати півпериметр трикутника. Скласти суму всіх трьох, даних у завданні, чисел і розділити її на два. Прості обчислення призводять до числа 7. Це значення полупериметра. Тепер можна обчислювати площу трикутника за вказаною вище формулою. Під квадратним коренем виявляється твір чотирьох чисел: 742 і 1. Тобто площа дорівнює ?(4 * 14) = 2 ?(14). Якщо не потрібна велика точність, то можна витягти квадратний корінь з 14. Він дорівнює 374. Тоді площа дорівнюватиме 748. Відповідь. S = 2 ?14 см 2 або 748 см 2 .

Приклад завдання з прямокутним трикутником

Умова. Один катет прямокутного трикутника більше, ніж другий на 31 див. Потрібно дізнатися їх довжини, якщо площа трикутника дорівнює 180 см 2 .
Рішення. Доведеться вирішити систему двох рівнянь. Перше пов'язане з площею. Друге — з відношенням катетів, що дано в завданні.
180 = 1/2 а * в; а = в + 31.
Спочатку значення «а» потрібно підставити в перше рівняння. Вийде: 180 = 1/2 (+ 31) * ст. В ньому тільки одна невідома величина, тому його легко вирішити. Після розкриття дужок виходить квадратне рівняння: у 2 + 31 в - 360 = 0. Воно дає два значення «в»: 9 - 40. друге число не підходить в якості відповіді, так як довжина сторони трикутника не може бути негативною величиною. Залишилося обчислити другий катет: додати до отриманого числа 31. Виходить 40. Це шукані у завданні величини. Відповідь. Катети трикутника дорівнюють 9 і 40 див.

Завдання на знаходження сторони через площу, бік і кут трикутника

Умова. Площа деякого трикутника 60 см 2 . Необхідно обчислити одну з його сторін, якщо друга сторона дорівнює 15 см, а кут між ними дорівнює 30?. Рішення. Виходячи з прийнятих позначень, шукана сторона "а", відома "в", заданий кут "?". Тоді формула площі можна переписати так: 60 = 1/2 а * 15 * sin 30?. Тут синус 30 градусів дорівнює 05. Після перетворень «а» виявляється рівним 60 /(05 * 05 * 15). Тобто 16. Відповідь. Шукана сторона дорівнює 16 див.

Задача про квадраті, вписанном в прямокутний трикутник

Умова. Вершина квадрата зі стороною 24 см збігається з прямим кутом трикутника. Дві інші лежать на катетах. Третя належить гіпотенузі. Довжина одного з катетів дорівнює 42 див. Чому дорівнює площа прямокутного трикутника? Рішення. Розглянемо два прямокутних трикутника. Перший — заданий у завданні. Другий — спирається на відомий катет вихідного трикутника. Вони подібні, так як мають спільний кут і утворені паралельними прямими. Тоді відносини їх катетів рівні. Катети меншого трикутника дорівнюють 24 см (сторона квадрата) і 18 см (заданий катет 42 см відняти сторону квадрата 24 см). Відповідні катети великого трикутника — 42 см і х див. Саме цей «х» потрібен для того, щоб обчислити площу трикутника. 18/42 = 24/х, тобто х = 24 * 42 /18 = 56 (см). Тоді площа дорівнює добутку 56 і 42 розділеному на два, тобто 1176 см 2 . Відповідь. Шукана площа дорівнює 1176 см 2 .